1 Cas d'une roche saturée
Dans le cas d'une roche saturée, « ARCHIE » a établi une relation expérimentale liant la résistivité de la roche à la porosité et à la résistivité de l'eau d'imbibition.
Avec : ρw = résistivité de l’eau d’imbibition ; Ø = porosité ; a = facteur qui dépend de la lithologie et qui varie entre 0.6 et 2 (a < 1 pour les roches à porosité intergranulaires et a > 1 pour les roches à porosité de fracture) ; m = facteur de cimentation (Il dépend de la forme des pores, de la compaction et varie entre 1,3 pour les sables non consolidés à 2,2 pour les calcaires cimentés).
On a l'habitude de regrouper sous le terme de facteur de formation = F = a Ø –m.
Dans la pratique on admet pour les formations meubles , sables et grès , la formule de « HUMBLE » : F = 0,62. Ø -2,15 et pour les roches bien cimentées: F = 1. Ø -2 (Figure 2-12,Abaque 3)
En définitive nous obtenons pour la loi d'Archie :
2 Influence de la température
La résistivité dépend aussi de la température (Figure 2-8, Abaque 1) à laquelle la roche est soumise, on a la relation suivante:
Le gel augmente beaucoup la résistivité des roches, cependant l'effet est relativement progressif car les sels en solution abaissent le point de congélation de l'électrolyte qui remplit les pores de la roche. Une roche totalement gelée est infiniment résistante. Dans les pays de permafrost il est difficle de mettre en œuvre les méthodes de résistivités le sol étant infiniment résistant c'est pourquoi c’est dans ces pays qu'on été développées les méthodes électromagnétiques. La loi d'Archie ne s'applique par rigoureusement pour les roches argileuses, à cause de deux phénomènes secondaires qui sont:
- L'ionisation de certains minéraux argileux
- la conductibilité superficielle
3 La saturation
La loi d'Archie a été établie pour des roches saturées en eau, il faut maintenant tenir compte d'un nouveau paramètre: la saturation.
La loi d'Archie devient alors
On peut aussi écrire:
Avec : F.ρw = résistivité de la roche saturée en eau ; ρr = résistivité de la roche désaturée en eau ; n ≈ 2.
L’exposant n varie très peu avec les formations, sa valeur est environ de 2 pour la plupart des formations de porosité normale dont la teneur en eau est comprise en 20 et 100 %. Parfois l'air peut être remplacé par de l'huile ou du gaz, ce qui a le même effet sur les résistivités ces trois fluides étant infiniment résistants. Le paramètre saturation est très important en pétrole, c'est de lui que dépend la mise en production. D'une manière générale, la désaturation augmente la résistivité. Dans certains cas très particuliers l'effet de la désaturation peut être inverse. En effet, l'évaporation charge en sels la zone déshydratée, qui devient plus conductrice que la zone saturée de par sa grande concentration en sels, c'est le cas par exemple de certaines régions d’Egypte.